Propriétés des équations de la Dynamique. 56. Le problème général du mouvement d'un point mobile des coordonnées, 7, 4, soumis à des forces dépendant algébriquement de la position du point, de la vitesse et pouvant varier explicitement avec le temps, se ramène, en posant les fi, i, i étant des fonctions données de t et les exposants = 0, A l'aide d'exposants (72), M. Petrovitch forme certains nombres commensurables M; dont il montre les curieux rapports avec certaines particularités importantes des intégrales du système (71) et du mouvement du point mobile. Soit tt, le temps employé par le mobile pour aller de la position initiale à l'origine des coordonnées; cette valeur dépend généralement des conditions initiales et varie avec celles-ci, sauf les cas remarquables du tautochronisme du mouvement par rapport à l'origine. Or, lorsque certains des nombres M; sont négatifs, nuls ou bien se présentent sous la forme [nous dirons, dans ce cas, que les condi tions (C) sont remplies], l'une ou l'autre des conditions suivantes est certainement remplie : 1o Ou bien la valeur tt, est une singularité transcendante des,,variant avec les données initiales; 2o Ou bien le mouvement est tautochrone par rapport à l'origine des coordonnées, en ce sens que le temps employé par le mobile pour aller d'un point quelconque à l'origine, ne varie pas avec les données initiales. Il s'ensuit, par exemple, la conséquence suivante : Toutes les fois que les équations de mouvement (71) remplissent les conditions (C) et qu'elles s'intègrent par des fonctions uniformes du temps sans points essentiels mobiles, ou par des fonctions algébriques du temps, ou par des combinaisons algébriques de fonctions uniformes sans points essentiels mobiles, le mouvement est tautochrone par rapport à l'origine des coordonnées. D'autres propositions de M. Petrovitch concernent le cas où certains nombres commensurables M; sont, en valeur absolue, plus grands qu'un certain entier fixe ou bien se présentent sous la forme. Dans ce cas : 1o Ou bien t=t, est une singularité transcendante des 5, 7, variant avec les données initiales; 2o Ou bien on peut fixer deux instants t' et t" tels qu'on ne pourra pas avoir t'≤t,≤t" que si le mouvement est tautochrone par rapport à l'origine. M. Petrovitch établit également, et par les mêmes considérations, d'autres propositions relatives au nombre de passages du point mobile par l'origine pendant un intervalle déterminé de temps, ainsi qu'à l'espace de temps que met le mobile pour arriver de la position initiale à une position fixe considérée. Action le long de diverses trajectoires. (Note n° 105.) 57. Considérons le mouvement d'un système holonome à k degrés de liberté, à liaisons indépendantes du temps, sous l'action de forces dérivant d'une fonction de forces U et soit, avec les paramètres q1, q2...., qk formant un système de coordonnées orthogonales l'expression de l'action le long d'une trajectoire arbitraire passant par deux positions données P, et P, du système, les L; étant fonctions ..., q et de la constante des forces vives h, déterminées par les liaisons et la forme de la fonction de forces U. des M. Petrovitch énonce plusieurs propositions précisant des limites supérieures et inférieures de la valeur de l'action le long de diverses trajectoires passant par les positions données P, et P,, et permettant de comparer entre elles les valeurs de l'action le long de ces trajectoires. Ceci suppose les deux positions P, et P, suffisamment rapproP1 chées l'une de l'autre pour que le long de l'arc s=PP de la trajectoire aucune des différentielles Lidq; ne change de signe; ceci revient à supposer que l'action le long de s présente une allure invariable, l'invariabilité consistant dans celle du sens de croissance des éléments Li dqi En comparant, par exemple, entre elles les actions présentant une même allure le long de deux trajectoires arbitraires (mêmes signes des Lidq;), il arrive au résultat suivant: L'action le long de l'arc s PP, de la trajectoire naturelle ne peut jamais être plus de v fois plus petite que celle le long de l'arc s= PoP d'une trajectoire arbitraire de l'espèce considérée, étant un nombre qu'on saura toujours calculer. En appliquant le procédé au mouvement d'un point matériel libre sous l'action de forces dérivant d'une fonction de forces U, le système de coordonnées étant rectiligne et orthogonal, M. Petrovitch établit le résultat suivant : Si l'on désigne par H la somme de valeurs absolues des accroissements finis des coordonnées quand on passe de la position P。 à la position P, du point mobile, et par A et B la plus grande et la plus petite valeur de la fonction U÷h (h étant la constante des forces vives) le long de l'arc s, l'action le long de sa pour valeur λH, où est un facteur dont la valeur est toujours comprise entre Principe de minimum dans les phénomènes électrodynamiques et électromagnétiques. (Note no 76.) 58. On peut résoudre tout problème de la Dynamique en cherchant les valeurs des accélérations rendant à chaque instant minimum une certaine fonction R du second degré par rapport à celles-ci et dont M. P. Appell a indiqué la loi de formation. où S est l'énergie d'accélérations, ne dépendant que du système hr les facteurs Q; dépendant des forces appliquées. Dans le mouvement naturel, les accélérations q sont à chaque instant celles qui rendent R minimum à cet instant; cette propriété conduit directement aux équations de M. P. Appell Ces conditions s'étendent aux phénomènes physiques et M. Petrovitch indique les expressions jouant le rôle de S, Q, R, q dans les divers phénomènes électriques, et en particulier dans des phénomènes électrodynamiques et électromagnétiques. Il remarque que les équations générales de Maxwell, mises convenablement sous la forme des équations de M. Appell, permettent d'énoncer un principe général de minimum régissant les phénomènes électriques. A tout phénomène correspond un ensemble (S, Q, R, q) tel qu'au cours naturel du phénomène les q sont à chaque instant celles rendan! minimum la valeur de R à cet instant. Décharge des condensateurs. (Mémoires et Notes n° 22, 30, 39.) 39. Dans la théorie classique de la décharge des condensateurs, on suppose que la capacité C, la résistance R et le coefficient L de selfinduction restent invariables au cours du phénomène. Le caractère de la décharge dépend essentiellement du signe de la quantité et la décharge sera continue ou oscillante, suivant que cette quantité est négative ou positive; la fréquence d'oscillations dépend de la valeur même de cette quantité. M. Petrovitch traite le cas général où la capacité, la résistance et le coefficient de self-induction varient avec le temps d'une manière continue, d'ailleurs quelconque, pendant la décharge. Il établit une théorie complète du phénomène en utilisant certaines propositions générales sur les équations différentielles linéaires du second ordre, à coefficients variables, s'appliquant bien au problème. La méthode employée n'exige pas l'intégration de l'équation du problème, d'ailleurs impossible dans la plupart des cas. Il se rend compte des particularités du phénomène par la seule considération d'une fonction du temps qu'il appelle fonction caractéristique du phénomène, ayant pour l'expression le se réduisant, dans le cas de C, R, L invariables, à la constante (73). La fonction (t) jouit de cette propriété fondamentale que caractère de la décharge dans un intervalle donné du temps de t = 1, à t=t, dépend essentiellement du signe de (1) dans cet intervalle. A savoir: άι 1o Dans tout intervalle de temps dans lequel la fonction caractéristique est constamment négative, la charge du condensateur ne peut changer de sens plus d'une fois; avant et après ce changement. la décharge est continue; 2o Dans tout intervalle de temps dans lequel cette fonction est positive, la décharge est oscillante. Dans ce dernier cas, en désignant par M et N la plus grande et la plus petite valeur que prend la fonction caractéristique dans l'intervalle (, ) du temps, la charge électrique du condensateur changera de signe, dans cet intervalle, au moins autant de fois |