„Нека је D ма каква коначна, једноставно повезана, отворена област равни z, a f(z) функција холоморфна у D. Увек постоји низ (или ред) полинома који конвергирају у уну= трашњости области D униформно функцији f(z).“

Затим долазе свестрана испитивања редова полинома, на челу са методама г. г. P. Painlevé-a и D. Hilbert-a, конвергирањем у звездастим областима г. г. E. Borel-a и G. Mittag-Leffler-a, „најбољом апроксимацијом“ Чебишева, специјалним полиномима г. G. Faber-a и општим ставовима г. Р. Montel-a. Редове општих рационалних функција испитивао је поглавито г. Borel1.

Одатле видимо да се, изузев г. Appell-овог рада, остали односе искључиво на конвергирање у областима где је функција униформна. Природно је међутим пренети испитивање и на потпуно опште поље мултиформних функција. То и јесте предмет овог рада. Но, пошто сада за апроксимацију не могу више доћи у обзир униформне функције као што су рационалне функције и полиноми, то је природно, заменити их мултиформним алге= барским функцијама 2.

Приметимо нузгред, да низови мултиформних алгебарских функција нису непознати у математици. То потврђује сам елемен= тарни образац:

n

n

ских функција, п (/z — 1). Конвергирање овог низа је униформно у целој области егзистенције логаритма, т. ј. на целој логаритам= ској површини, изузев у 2 = 0 и z= ∞, где lg z бива бескрајан. Први одељак садржи општа посматрања, други одељак неколико специјалних.

Као што већ горњи пример показује, код развијања мултиформних функција у општим областима њихових Riemann-ових површина у низове специјалних функција, јавља се једна нова околност, која не постоји за равне области. Она се састоји у томе, што су Riemann-ове површине специјалних функција, у

1 прегледно у: Р. Montel, Leçons sur les séries de polynomes и у Borelовим књигама исте збирке.

2 види и моју белешку у Comtes rendus des séances de l'Acad. des Sciences, Paris: Sur l'approximation des fonctions analytiques multiformes par les fonctions algébriques.

општем случају простије него што је Riemann-ова површина дате опште функције, тако, да се низ специјалних површина мора приближавати, тежити облику опште површине. Та је околност неизбежна, ако су специјалне функције, као што је то случај у овом раду, алгебарске функције, а област у којој развитак треба да конвергира, сувише компликован, да би се могао сматрати за део једне алгебарске Riemann-ове површине.

Дакле, први одељак нашег рада морамо почети са дефи= ницијом једног начина, како да се Riemann-ове површине једног низа алгебарских функција, постепено компликују, па да може бити реч о конвергирању тог низа функција у датој општој области Riemann-ове површине. Међу могућим дефиницијама изабрали смо најпростију коју је и најприродније узети; она гласи: „Нека је Д ма каква отворена област једне Riemann-ове повр= шине. За алгебарске Riemann-ове површине Sn (n=1,2,...) кажемо да гранично садрже област D, ако за сваку затво= рену област ▲ (која се може сматрати за област једне алгебарске површине) садржану у D, постоји довољно велик број N, такав да за свако n > N, ▲ можемо сматрати за област површине Sn. "

Помоћу те дефиниције, поменута испитивања о низовима рационалних функција и полинома, уопштавају се на један при= родан начин. Тако добијамо наш главни став, који гласи: Став І. "Нека је f(Z) општа аналитичка функција, Д једна отворена област њене Riemann-ове површине, а у којој jе f(Z) холоморфна, изузев у алгебарским тачкама гра= нања који се налазе у D и где је довољно да f(Z) буде континуирана; нека је D' једна отворена област (неке Riemann-ове површине) која садржи област D.

Ма како изабрали низ алгебарских Riemann-ових површина Sn(n = 1,2,...) које гранично садрже област D', увек постоји низ алгебарских функција fn(Z) (n=1,2,...) чије површине су Sn(n=1,2,...) и које конвергирају у унутрашњости области D униформио функцији f(Z)“. На даљем месту прецизирамо овај став, те добијамо сле= дећи став:

Став І. "Нека је f(Z) општа аналитичка функција, Д једна отворена област њене Riemann-ове површине, а у којој je f(Z) холоморфна изузев у алгебарским тачкама гранања, које се налазе у D и где је довољно да f(Z) буде конти=

1*

нуирана; нека је D' једна отворена област (неке Riemann-ове површине) која садржи област D; нека су Sn(n=1,2,...) неке алгебарске Riemann-ове површине које гранично садрже област D'; нека су ∆n(n = 1,2,...) неке затворене области садржане у D, које конвергирају области D, а такве су, да се ∆п може сматрати за област површине Sn.

Увек постоји низ алгебарских функција Фn(Z)(n=1,2,...) чије површине су Sn(n=1,2,...) и које конвергирају у унутрашњости области D униформно функцији f(Z), а да свака функција Фп (Z) има за једине полове, у свакој комплементарној области области ∆п, само један пол, у произвољно изабраној тачки".

Из ставова I и I следују непосредно, разни нови ставови, а у случају да је D област у равни и поменути Runge-ов став: став І садржи прву половину Runge-овог става, т. ј. без произвољног бирања полова, став I' напротив, цели став. На крају првог одељка посматрамо симултано конвергирање у више одељених области Riemann-ових површина.

Други одељак садржи три примера који служе илустровању првог одељка. Први пример показује како је у општим ставовима првог одељка садржано развијање функција униформних на логаритамској површини, други пример садржи једну врсту уопштења Taylor-овог реда, док се трећи пример односи на проблем испитивања функције коју претставља дати низ алгебарских функција.

Први одељак.

1. Претходна посматрања о Riemann-овим површинама.

Пре него што пређемо на главни предмет овог рада, морамо се задржати на посматрању Riemann-ових површина, са гледишта на које се ми овде стављамо.

Најпростије се долази до појма Riemann-ове површине S опште моногене аналитичке функције f(z), конструкцијом те повр= шине. Суштина те конструкције састоји се у следећем: Посматрајмо скуп свију елемената функције f(z), чији је

општи облик,

n

y=0

a (z — zon ако је 20

-=

v=0

где је 1 или цео број >1 и где сваки елеменат конвергира у једном кругу описаном око 70. Те кругове не сматрајмо за делове равни, него за кружне отворене области које се распростиру изнад равни и састоје се из п листова.

Уочимо прво, ма који овакав елеменат; означимо његову област конвергенције (у горњем смислу) са К1. Затим уочимо један други елеменат, такав, да његова област конвергенције К има у пројекцији на раван један део заједнички у кому се покла= пају вредности †, оне у К1, са онима у К′. Спојмо у том делу К1 и К′ и назовимо нову област, К2. Затим уочимо један трећи елеменат, такав да његова област конвергенције К" има у про= јекцији један или више делова заједничких, са К2, у којима се поклапају вредности Í, оне у К2 са оним у К". Спојмо у тим деловима К2 и К" и добивену област назовимо К3.

Наставимо овако бескрајно, држећи се следећих правила: 1. Кт+1 настаје из Кт и K(m), ако обоје спојимо у оним њихо= вим деловима где се поклапају и њихове пројекције на раван и вредност функције f(z); где се поклапају само пројекције, док вредности функције остају различите, тамо оставимо области да се распростиру, једна област преко друге.

2. Горњи низ елемената бирамо тако, да сваки елеменат поменутог скупа буде садржан у области конвергенције, бар једног елемента тог низа.

Овако дефинирани низ области Km(m=1,2,...) одређује, површину Ѕ као границу, којој те области теже. Према томе, Riemann-ова површина има карактер отворене области. Изузев алгебарских тачака гранања у којима је функција континуирана, за сингуларне тачке функције f(z) се сматра да не припадају самој површини, него њеној међи2.

Има аналитичких функција које су униформне на некој Riemann-овој површини S, а егзистирају само у једном делу површине Ѕ; њихове области егзистенције су неке отворене области површине S. Ипак се и S сматра Riemann-овом повр= шином такве једне функције. Дакле, треба разликовати појам Riemann-ове површине S неке аналитичке функције f(z), од њене области егзистенције Е: у општем случају, Е је отворена област површине S (у горњој конструкцији је Е= S).

Једна отворена област неке Riemann-ове површине, може се сматрати у општем случају (т. ј. када њена међа садржи и линије) и као отворена област многих других Riemann-ових површина. У овом раду имају нарочиту важност оне отворене области, које се могу сматрати за области алгебарских Riemann-ових површина. Ако једној оваквој области додамо њену међу, настаје једна затворена област, које се може сматрати за затворену област једне алгебарске Riemann-ове површине. Такве затворене области, означаваћемо редовно, словом А, па ћемо их укратко називати, областима ▲ (одн. ∆n, A

Уведимо сада следећу дефиницију:

(u)

,...).

Дефиниција I. Уочимо једну отворену област D неке Riemann-ове површине и један низ затворених области An(n=1,2,...) садржаних у D. За затворене области Дп кажемо да конвергирају према отвореној области D (или да апроксимирају D), ако за сваку тачку области Д постоји довољно велик број N, такав, да се за свако n> N, та тачка налази у Ап.

Докажимо следећи, лако схватљиви став: