Ceci résulte du théorème de Liouville sur les zéros et les pôles des fonctions méromorphes doublement périodiques.

L'application de ces lemmes conduira à des intégrales premières de la forme

(29)

R=r(x), R= P(x), R const.

Une telle intégrale étant connue, la recherche des intégrales y de nature analytique supposée se ramène à celle des solutions communes à deux équations différentielles, ce qui se fera par différentiations et éliminations des dérivées successives de y.

Deux cas peuvent alors se présenter :

Premier cas. On finit par tomber sur des équations d'ordre zéro, et l'on est alors ramené au problème élémentaire : trouver les solutions communes à deux équations algébriques; ces solutions sont alors nécessairement algébriques en x. Toute intégrale meromorphe est alors rationnelle.

Deuxième cas. On peut choisir r(x), P(x) ou la constante des intégrales premières (29), de sorte que les équations de la suite (4) à partir d'un certain rang m se réduisent à des identités. Toute intégrale commune à (1) et (29) est une intégrale de l'équation (m — 1); l'équation (1) ne peut avoir d'intégrales meromorphes autres que celles définies par (m −1). Pour que (1) en admette, il faut et il suffit que (m-1) en admette et que parmi ces intégrales il y en ait qui satisfassent à (1). La recherche des intégrales méromorphes (et par suite des intégrales entières) de l'équation proposée se trouve donc ramenée à celles d'une équation d'un ordre moindre.

Si, par exemple, cette dernière équation ne contient que x, y, Y', l'équation proposée ne peut admettre comme intégrales d'autres transcendantes méromorphes que celles définies par les équations du premier ordre (fonctions rationnelles en x, ou bien en e, ou bien en snax et cnax).

Si la dernière équation ne contient que x, y, y', y", on saura, par exemple, reconnaître par les méthodes de M. Painlevé, relatives aux équations du second ordre, si f= o admet une intégrale méromorphe dépendant algébriquement de deux constantes d'intégration; on calculera, dans ce cas, cette intégrale soit algébriquement, soit par qua

dratures, ou bien par l'intégration d'une équation linéaire du troisième ordre.

Rappelons que les intégrales premières sans restrictions peuvent être considérées comme une sorte d'invariants relatifs à toutes les intégrales de l'équation, quelle que soit leur nature analytique. Les intégrales premières de l'espèce précédente seraient alors des invariants relatifs à une classe déterminée d'intégrales. A ce point de vue, la différence entre ces deux sortes d'invariants rappelle la différence qui existe entre les deux sortes d'invariants dans la théorie des équations linéaires, entre ceux considérés par Halphen, valables quelle que soit la nature des fonctions entrant dans la substitution, et les invariants d'une nature plus spéciale, considérés par Poincaré, où les fonctions qui entrent dans la substitution ne sont pas quelconques, mais rationnelles en x.

7. Quelques types d'équations admettant des intégrales premières algébriques pour leurs intégrales méromorphes. - Nous allons indiquer comment on est conduit à considérer des intégrales premières de l'espèce précédente et comment on peut former des types généraux d'équations pour lesquelles on connaîtra de telles intégrales.

Soit R(x, y, y',.... y()) une fonction rationnelle donnée de x, y, y', y(7) à coefficients constants et indéterminés a,, A2, ..., Ak. Effectuons dans l'équation donnée

(où a est une constante indéterminée), en prenant comme nouvelle fonction. Soit

Ak

la nouvelle équation, où les ; sont polynomes en x, a1, 2, ..., ak et a. Supposons construit l'ensemble A de points (M, N) relatif à (32) et

soit

un ensemble de points faisant partie de ▲ et tel qu'en les supprimant, l'ensemble qui reste ne remplit aucune condition du théorème I (p. 13).

Toutes les fois que les j équations

(34)

=0.

=0,

=0

pour au moins trois valeurs a, a, a, de a admettent un système de solutions en a, a, ..., a indépendantes de x, l'équation (30) admet, pour ses intégrales meromorphes, l'intégrale première

(35)

R(x, y', y', p'T) = r{x).

où r(x) est une fonction rationnelle de x, et où les a, figurant dans R, sont à remplacer par ce système de solutions.

Car, y étant une intégrale méromorphe de (30), l'intégrale z de (32) qui lui correspond est aussi une fonction méromorphe, et si l'on donne à a l'une des valeurs a,, a, a, et aux coefficients indéterminés a; dans R, les valeurs trouvées comme solutions du système (34), les termes de l'équation (32) correspondant à l'ensemble de points (33) disparaissent. Le contour II de (32) ne remplit pas les conditions du théorème I, ce qui montre que les pôles de l'intégrale z ne varient pas avec les constantes d'intégration et annulent ou rendent infinie l'une au moins des fonctions, d'où l'on conclut que ces pôles sont en nombre limité. Il s'ensuit que les trois équations

lorsqu'on y remplace y par une intégrale méromorphe de (30), se réduit à une fonction rationnelle de x, ce qu'il fallait démontrer.

On démontre de la même manière la proposition suivante :

Toutes les fois que les équations (34) pour au moins deux valeurs 2, et a de a admettent un système de solutions a,, a, ..., a indépendantes de x, l'équation (30) admet, pour ses intégrales entières, l'intégrale pre

Lorsque x ne figure pas explicitement dans l'équation (30), le polynome P se réduit à une constante.

8. Cas des équations du premier ordre. Dans des cas étendus des équations du premier ordre il est possible de former des expressions R dépendant de la variable indépendante x et d'une ou plusieurs intégrales particulières y1, y2 y3, ... d'une nature analytique déterminée, se réduisant pour ces intégrales à une fonction algébrique ou rationnelle de x, ou bien une constante. On peut alors en tirer des conclusions sur la nature des y, sur le nombre de telles intégrales distinctes (c'est-à-dire n'étant liées par aucune relation algébrique à coefficients algébriques en x), etc.

L'exemple suivant en donnera l'idée.
Considérons l'équation

où P et Q sont polynomes en y de degrés respectifs m et m', à coefficients algébriques en x, et envisageons-en les intégrales y uniformes. Pour que l'équation puisse admettre des intégrales uniformes transcendantes, il faut, d'après un théorème connu, que P et Q soient rationnels en x; on peut donc les supposer polynomes en x. De plus, par une transformation homographique, on peut toujours ramener l'équation à satisfaire à la condition m=m'+2, qu'on supposera donc remplie. La valeur y est alors une valeur ordinaire, c'est

I

à-dire que, si l'on posey = !, l'intégrale (x) qui pour x=x, prend la

3

valeur = 0, est holomorphe au voisinage de x=x, (pris au hasard).

z

1° Supposons alors que l'équation algébrique

(B)

Q(x, y) =0

admette plus de deux racines y;=¿(x) distinctes et soient

trois quelconques de ces racines; elles peuvent d'ailleurs être des branches d'une même fonction algébrique.

Une intégrale uniforme y de l'équation (A) n'a pas de coupures et ne peut avoir que certains points essentiels connus à l'avance; soit x= a un tel point. Si xa est en même temps un point critique de 1, 2, 3, on peut toujours poser

Après y avoir remplacé l'intégrale uniforme y par son expression en x, R sera une fonction (x) de x qui, en dehors de certaines valeurs fixes de x en nombre limité, ne prend les trois valeurs o, 1, ∞ que pour les valeurs de a racines des équations respectives

y(x) —, (x)=0, Y(x) — Q2(x)

=0, ¥′(x) — Q3(x) = o.

Or, ces racines sont également des valeurs exceptionnelles de x en nombre fini. La fonction z(x) serait donc une fonction admettant x=a comme point essentiel, étant uniforme dans le domaine de ce point et ne prenant dans le voisinage de xa les trois valeurs o, 1, ∞ qu'un nombre fini de fois. La fonction (x) ne peut donc admettre de points essentiels (à distance finie ou infinie) : c'est donc une fonction rationnelle r(x) de x, de sorte qu'on aura

R(x, y) = r (X).

On en conclut que l'équation (A) n'admet aucune intégrale uniforme transcendante.

2o Supposons que l'équation (B) n'admette que deux racines dis

tinctes

et posons

y' = q1(x),

r = 92(x)

1'