blement périodique de fo, n'a pas des zéros ou des infinis à distance finie. L'équation ƒ= o admettra comme intégrale première R= const. pour toutes ses intégrales y de cette nature. Ceci résulte du fait qu'une fonction méromorphe doublement périodique ne saurait rester holomorphe ni différente de zéro dans tout le plan de la variable sans se réduire à une constante.

Les intégrales premières sans restrictions fournissent une sorte d'invariants relatifs à toutes les intégrales de l'équation, quelle que soit leur nature analytique. Les intégrales premières à restrictions fournissent alors une sorte d'invariants relatifs à une classe déterminée d'intégrales de f=0.

3. Intégrales premières qualitatives à restrictions. S'il ne s'agit que d'intégrales réelles de f= o, il peut y avoir d'utilité de considérer une autre espèce d'intégrales premières. Ce seraient les intégrales exprimant qu'une certaine expression , dépendant de x, y et de quelques dérivées de y par rapport à x (pouvant aussi dépendre des données initiales), se réduit en vertu de l'équation même ƒ = o, non pas à une constante, mais à une fonction inconnue de x dont on connaît des particularités d'ordre qualitatif pour x variant entre deux valeurs connues a et b. De telles particularités peuvent consister en signes de 0, variations limitées de cette fonction, existence d'oscillations entre x = a et x = b, concavité ou connexité de la courbe

y' = 0 (x)....

Le fait, par exemple, que pour x variant entre a et b, la fonction varie entre deux valeurs λ, et λ, connues (constantes ou fonctions de x ou des données initiales) s'exprime par une équation de la forme

fournissant une espèce d'intégrale première qualitative de f=0, valable pour les intégrales réelles, finies et continues dans l'intervalle (a, b) de x, de ƒ=o, ou bien pour les intégrales positives, monotones, etc.

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CHAPITRE I. DIVERSES ESPÈCES D'INTÉGRALES PREMIÈRES.

admet, pour ses intégrales réelles croissantes à partir de xx, et correspondant à la détermination positive de √(x), l'intégrale pre

admet, pour ses intégrales réelles monotones dans un intervalle (a, b) de x, comme intégrale première

admet, pour ses intégrales réelles, une intégrale première de la forme

admet, entre autres, l'intégrale première pour ses intégrales réelles

I d2y,

où M est un certain nombre positif.

∞<x<∞

M < 0 < ∞ 1

Dans les Chapitres qui suivent, nous indiquerons des modes de formation d'intégrales premières à restrictions et pour des types généraux d'équations différentielles et de systèmes. Nous indiquerons également le parti qu'on peut en tirer dans la recherche de leurs intégrales, générales ou particulières, d'une nature analytique déterminée ou dans l'étude de particularités de leurs intégrales réelles.

CHAPITRE II.

THEORÈMES AUXILIAIRES

SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

4. Contour polygonal caractéristique des pôles de l'intégrale. - Nous commencerons par rappeler certaines conditions nécessaires pour que l'intégrale d'une équation d'ordre quelconque ait ses pôles mobiles, c'est-à-dire variant avec les constantes d'intégration. Le contour polygonal, dont nous indiquerons la construction au moyen des exposants de la fonction inconnue et de ses dérivées dans les termes de l'équation différentielle, y jouera un rôle fondamental.

Soit donnée l'équation ƒ = o d'ordre
d'ordre p écrite sous la forme

(8)

i=s

Σi (X) poi y1msi y "mai

ypmpi = 0,

i=1

où les mi sont des entiers positifs tels qu'on n'ait pas à la fois pour deux indices i et j différents

les Фі

étant des fonctions quelconques de x. Formons les 25 nombres entiers positifs suivants :

Traçons dans le plan deux axes, celui des M et des N, et marquons les s points (M, N), ayant soin d'inscrire à côté de chacun d'eux son

indice i. Si deux ou plusieurs points coïncident, on mettra à côté d'un tel point multiple les indices de tous les points qui y sont confondus.

Construisons le contour polygonal II concave vers OM, fermé par deux droites L, et L. perpendiculaires à l'axe OM et par cet axe même, et contenant dans son intérieur et sur sa périphérie tous les points (M1, Ni); de plus, chaque côté du contour, sauf l'axe OM et les droites L1, L., doit passer par au moins deux points (M;, N;). Les sommets (a) et (3) du contour seront appelés sommets extrêmes droit et gauche, et le sommet le plus éloigné de OM sera sommet w; s'il y a plus d'un sommet sur une même parallèle à OM, on aura un tel sommet droit et un gauche.

L'angle DẞD' sera désigné comme domaine du sommet (3); l'angle D''D" comme domaine du sommet (3'); l'angle_D"?"D" comme domaine du sommet (3")...; enfin l'angle AzA' comme domaine du sommet (a). Dire qu'un nombre est compris dans le domaine d'un sommet, signifie que λ coïncide avec le coefficient angulaire d'une droite passant par ce sommet et comprise dans l'angle représentant le domaine de celui-ci.

Un sommet est à domaine positif ou à domaine négatif suivant que les valeurs 7. comprises dans son domaine sont positives ou négatives. Tous les sommets à gauche du sommet o gauche sont à domaine positif; tous ceux à droite du sommet droit sont à domaine négatif.

Il peut arriver que le contour II présente un ou plusieurs sommets en lesquels deux ou plusieurs points (M., N;) coïncident; nous les appellerons alors les sommets multiples. Envisageons un tel sommet et soient a1, 2, ..., a les indices des termes de f qui y sont confondus. Formons l'équation

(II)

an

Ax, Qx, (a) +· Ax, Qx, (a) + ... + Ax2 Qx2(a) = o,

où a est un nombre arbitraire. Elle sera une équation algébrique en λ à coefficients dépendant de a, que nous appellerons équation en 7. rattachée au sommet multiple (a,, 2, a). A chaque sommet multiple correspond une équation en λ de la forme (11). Une telle équation rattachée à un sommet simple d'indice i se réduirait à A¡= 0, c'est-à-dire à

i

Nous indiquerons les formes du contour II relatifs à quelques types généraux d'équations.

Premier exemple. - Soit

f= P(x, y)y"+Q(x, y),

où P et Q sont deux polynomes en y, et soient m et m' le plus grand et le plus petit exposant de ý dans P, et n, n' les quantités analogues relatives à Q. Le polynome ƒ présente deux sortes de termes :

1o Les termes de la forme y y"(i=m', m' + 1, ..., m— 1, m), qui donnent les points M;=i+1, N;= 2, situés sur la droite N = 2;

2o Les termes de la forme y (k=n', n' + 1, ..., n—1, n), qui donnent les points Mk, No, situés sur l'axe OM.

Par conséquent, la forme générale du contour II est celle de la