où M, N, P, Q sont fonctions de t liées par la relation (où 1, 2, 3 sont des constantes) qu'on rencontre dans le problème du mouvement d'un corps solide et qui s'intègre par des fonctions elliptiques, on trouve : avec les équations analogues pour x, et x3. X3 3 Lorsque α, et α, sont d'un même signe, l'expression (64) ne saurait s'annuler pour une valeur réelle t=t, que si pour cette valeur de t to on avait à la fois x = 0, x = o. Or, les équations (63), en vertu du théorème de l'existence, admettent un système unique d'intégrales x1, x2, x holomorphes au voisinage de t-to et s'annulant pour cette valeur de t. D'autre part, en vertu des équations (63) mêmes et celles qu'on en tire par différentiations successives, toutes les dérivées de x, seraient nulles pour t = to; l'intégrale x,, s'annulant pour cette valeur de t, serait donc identiquement nulle. Les intégrales x, et a ne peuvent donc s'annuler simultanément; l'équation (64) reste pour toute valeur réelle de t supérieure, en valeur absolue, à un nombre positif fixe M, de sorte que le système admettra une intégrale première 3 (suivant le signe commun à α, et α), ce qui entraîne des conséquences indiquées précédemment. Ces faits ne sont, d'ailleurs, que des cas particuliers d'un fait d'ordre plus général, indiqué dans ce qui suit. D'après un théorème remarquable, dù à MM. Appelrot et Lagoutinski ('), tout système d'équations différentielles algébriques d'un ordre quelconque peut être ramené à un système de la forme à coefficients a constants égaux à des nombres entiers supérieurs ou égaux à I. M. Appelrot a même ramené les formes linéaires ; à avoir tous les coefficients aki égaux à 1 ou à o (loc. cit.). De plus, ces réductions s'effectuent par le changement des fonctions inconnues sans changer la variable indépendante. Le système, par exemple, (1) Communications à la Société mathématique de Moscou (Recueil mathém., t. 23, 1902; t. 27, 1909; t. 32, 1924). Le théorème de MM. Appelrot et Lagoutinski offre un champ étendu aux applications des résultats qui précèdent. Ainsi, l'équation (66) montre que si y1, y2, ..., Ym est un système d'intégrales finies dans l'intervalle (a, b) de t, pour chacune de ces intégrales existe une intégrale première (où A et C sont des quantités finies fixes) entraînant les conséquences précédentes aucune intégrale du système n'aura de zéros réels dans l'intervalle (a, b) [ni même de zéros imaginaires dans son cercle d'holomorphie quelconque]; toute intégrale reste dans (a, b), constamment comprise entre les deux fonctions exponentielles Ce et Ce, etc. En différentiant l'équation (66) par rapport à t, on trouve où H; est une forme quadratique en y1, Y2, ..., Yn à coefficients i constants. D'autre part, la forme H; est la somme des carrés de m fonctions linéaires en y1, . . ., yn, le nombre m étant égal ou inférieur à n : Hi Y+Y+ +Y k Toutes les fois que les fonctions linéaires Y sont réelles et que les équations Y1 =0, Y mo sont incompatibles, le système (66) admettra 48 CHAPITRE IV. INTÉGRALES PREMIÈRES QUALITATIVES A RESTRICTIONS. Le système n'a aucune intégrale y; oscillante; toute intégrale yi, laquelle (ainsi que ses deux premières dérivées) est finie et continue, pour toute valeur réelle de x, croît à partir d'une certaine valeur de x, en restant toujours positive, ou bien décroît en restant négative. k Toutes les fois que les fonctions linéaires Y sont, pour les valeurs réelles de y1, les valeurs purement imaginaires, et que les équaYmo sont incompatibles, le système (66) admettra tions Y Уп, Im Toute intégrale y; finie et continue (ainsi que ses deux premières dérivées) pour toute valeur réelle de x, est oscillante, avec un nombre illimité d'oscillations autour de la valeur zéro. Si c'est une fonction entière de x, elle est d'un genre supérieur à zéro, etc. CHAPITRE III. Intégrales premières rattachées aur intégrales meromorphes 7. Quelques types d'équations admettant des intégrales premières algébriques pour leurs intégrales méromorphes. 8. Cas des équations du premier ordre... 9. Types d'équations admettant des intégrales premières pour leurs intégrales CHAPITRE IV. Integrales premières qualitatives à restrictions. |