Обележимо са Q, уопштене силе, које одговарају координатама 9. Виртуелне варијације координата q1:8q1, 8q2....... 8qn+k морају задовољавати услове: T=T (qi, qi, t) жива сила система. Или : где је С леве стране једначине (4) додајмо и одузмимо збир 8. Тада ће бити: да n+k (5) 8T+ Σ Qibqi+ Узмимо само оне варијације, које су једнаке нули за гра= ничне тренутке времена t1 и t2. Ова претпоставка се слаже са условима (2) за виртуелне варијације. Помножимо леву страну једнакости (5) са dt и интегра= лимо је између граница 1 и 2. Добићемо: Пошто су варијације 8 Q1, òq2...òq% потпуно произвољне, можемо претпоставити, да је (1) и (2), ако прве од горњих једначина варирамо, а друге диференцијалимо и затим постепено одузмемо друге од првих. ат Избацимо из израза за Ти (v 1,2... k) зависне брзине qn+, помоћу јед. (1) и обележимо Демченко: Котрљање без клизања 2 Сада једначину (6) можемо написати у следећем облику: Формула (10) изражава Воронцев принцип. Делимичном интеграцијом се израз (10) увек може помоћу јед. (2) тако трансформисати, да ће испод интегралног знака остати само линеарна функција варијација 81, 82... 8. Ако коефицијенте ових варијација уједначимо с нулом, добићемо познате једначине кретања нехолономног система, из којих су елиминисани мултипликатори веза. Заиста трансформишимо пре свега прва два члана фор. (10). Користећи се јед. (1) и (2), добићемо: Израчунајмо сада последњи члан фор. (10). Обележимо Из (10), (11) и (13) лако ћемо добити следеће једначине кретања нехолономног система Једначина (10) може се трансформисати у још подеснији облик, узевши у обзир, да је На тај начин Воронцев принцип можемо изразити овако: >Нека су 91, 92... qn... q+, координате материјалног уопштене силе, које, одговарају координатама .. Систем је подложан к диференцијалним везама система, Т његова жива сила и Q Изразимо помоћу ових једначина живу силу система и уопштене импулсе, који одговарају брзинама +1, .... q n + k као функције времена t, координата Q1,... Qh... Qn+k и неза= висних брзина 91, 92... Qn. Q i=n .dt=o k anty -Σ avi qi a.)]. at. за све варијације 8 Qi, које нестају за тренутке времена t1 и 2. При томе су варијације 8+1... 8qa+k одређене једна Често је у проблемима Механике корисно узети у место брзина з њихове линеарне функције. Горњи принцип се може лако преобразити на одговарајући начин тако, да прими облик врло подесан за примене. * § 3,2. Примена на котрљање без клизања чврстог тела по сталној површини. Применимо горњи интегрални интегрални принцип за изналажење једначина кретања чврстог тела, које се котрља без клизања по сталној површини. Узмимо за зависне брзине изводе 1 и No1. Израчунајмо пре свега одговарајуће њима уопштене импулсе К1 и К2. Изразимо живу силу тела 2T [фор. (2) § 2, 3] у функцији ù, ѵ, 9, ú1, Ў1 помоћу фор. (6), (8) и (9) § 1, 2. (2) (€s ат ат дп ди + K1=M/E, (es - Pun) cos 9 + (єт - pn) sin 9 + ^at У место с, т, п морамо у овим формулама сменити изразе 2) и (9) § 1, 3. Воронецъ. Уравненія движенія твердаго тѣла... 1903 г. ст. 18. Кіевъ. Коефицијенти код К1 и К2 у фор. (15) задњег параграфа имају према фор. (1) § 1,3 облик: преобразимо ове коефицијенте овако E (ndu- un') cos +G (ndv-v n') sin 9 / E (nðu -u n') sin - G (nòv-vn) cos9 1 VE Е1 (5) 1 9 2 GE, 78 Формулу (15) задњег параграфа препишимо на следећи начин (7) t Поё dē÷dU+Ki√ E (ndu-un')+K2G(ndu u-vn)] at=0 • је израз живе силе, који добијемо, ако у фор. (4) § 2, 3 у место S, T, n функцији и, v, 9 сменимо њихове вредности (2) и (9) § 1,3 у (9) (u, v, 9) Ꮎ Елиминишимо сада из фор. (7) n' помоћу фор. (6), òu1 и бѵ, помоћу фор. (4) и, најзад, би, бѵ, 89 — помоћу делимичне интеграције. Ставимо ли да су равни нули коефицијенти неза= висних варијација би, бѵ, 89, добићемо једначине кретања чврстог тела, које се котрља без клизања по сталној површини, у сле= дећем облику : 3 • Ове су једначине дате у делу проф. Воронца: Über die Bewegung... Math. An. 70. Band. § 16. |